3.2.2 Euclides vs enseñanza

En el libro Los Elementos de Euclides se han detectado un sin número de errores matemáticos y de rigurosidad, los más conocidos están relacionados con la descripción de la teoría, uno de ellos, es el famoso postulado quinto y la primera proposición. Debemos aclarar que en esa época de Euclides no se tenía la cobertura de conocimiento con la cual contamos ahora, uno de ellos es el estudio ordenado y completo de los reales; que no nos detendremos a explicar en este apartado, no por que carezca de importancia sino porque lo que nos interesa son las falencias que se puedan presentar en el momento de enseñar geometría.

Entonces desde esta perspectiva podríamos preguntarnos: ¿Qué sucede si la educación geométrica se fundamenta únicamente en el libro de Euclides? (acontecimiento representado en primaria y secundaria).

El libro de Euclides ha sido el estímulo y guía del pensamiento científico durante muchos siglos. Como lo afirma Bostch, citado por Alberto Campos (1981):

“El sistema de Euclides ha sobrevivido a siglos de crecimiento matemático. Los objetivos de la instrucción escolar moderna trascienden los límites de Euclides menos de lo que podemos suponer. Pero Euclides es una caja prefabricada y su enseñanza es estática. Es nuestro propósito hacer una dinámica, y esto no es posible dando a nuestros alumnos un catálogo sistemáticamente ordenado de tareas para efectuar, que es esencialmente lo que hacemos al enseñar a Euclides” pág. (42)

La geometría no se debe quedar en un modelo único de deducción como se puede seguir con el libro de Euclides, que pretende la axiomatización para enseñar a razonar.

El trabajo logístico para aprender a razonar axiomáticamente las nociones físicas del espacio, perduró hasta la invención de las geometrías no Euclideas. Es decir que se abrió paso a la geometría formal a partir de la demostración o reformación del quinto postulado de Euclides, de tal manera que se obligó a distinguir entre la geometría como sistema formal y la geometría física.

Fue Félix Klein, quien descubrió un objeto matemático, que caracterizaba a un conjunto u espacio definido en una operación binaria a partir de unos axiomas. A esta singularidad Félix le llamo grupo, la cual después origino la llamada teoría de grupos que posibilitaba la organización de las diferentes geometrías y caracteriza las situaciones de una forma sencilla.

Según Campos (1986) “Klein hace notar que la geometría clásica esta compuesta por propiedades invariantes respecto a un determinado grupo. De donde, él infiere el principio de generalización de la geometría” pág. (201)

Este objeto matemático llamado grupo de transformaciones se define como el estudio de los invariantes de la geometría en ciertas transformaciones. Desde este punto de vista, Alsina, Pérez y Ruiz (1989) ilustran que la geometría ya no solo consta de algebra y magnitudes sino que consta de invariantes. “La geometría seria desde entonces el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen invariantes con respecto a un grupo específico de transformaciones”. La geometría no es estática como en tiempos de Euclides, es dinámica. (Pág. 15)

Ahora sabiendo que existen otras geometrías ¿Por qué nos dedicamos al estudio solo de la axiomatización y de repente reproducimos las fallas que existen del texto de Euclides?

Primero, cabe observar que en la escuela se enseña una extraña mezcla entre la geometría Euclidiana y de Hilbert o una en forma de la otra, es decir muestran, como teoremas son postulados de Euclides, además se enfatiza en la memorización de un procedimiento deductivo.

La geometría no solo debe quedarse como un modelador intuitivo, ya que depender de la intuición geométrica no representa un análisis ni una argumentación rigurosa; aunque este instinto deductivo genere gran ayuda para la comprensión de las diversas representaciones de conceptos y objetos matemáticos.

A partir de un ejemplo, mostraremos que la gráfica geométrica o como se especificaría en matemáticas, la representación geométrica  y la deducción no permitiría examinar por completo el análisis que se merece el objeto matemático.

Tenemos el siguiente triangulo:

Con el triángulo ABC, verificar que un lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. En otra palabras se tiene que probar que AB < AC+CB

Si se sigue la axiomatización de la geometría euclidiana y de Hilbert tendríamos la siguiente deducción:

Sea D un punto en la recta CB tal que C esta entre D y B y AC es congruente con DC, entonces el triángulo ACD es isósceles y por tanto, el ángulo CDA es congruente con el ángulo CAD

A simple vista, podemos observar que se empieza a armar  supuestos y a realizar hipótesis a partir de la gráfica del triángulo, sin tener hasta el momento un análisis riguroso que justifique cada paso.

Lo mismo sucedería si se basa en la secuencia de hipótesis deductivas sin tener la representación geométrica pues esta se caracteriza por dar cierta claridad al momento de analizar el problema.

En un segundo momento tendríamos que seguir la extensión del libro de Euclides y la geometría de Hilbert adaptada a partir de este, generaría la creencia de un modelo deductivo insustituible que recorren cadenas de razones. “Pero si no es la recitación de los teoremas, entonces parece que la geometría en estos grados de enseñanza pierde  su razón de ser”  Brunschvicg (Boletin de Matematicas. Vol.XI (1977), Pp 267-281).

“La enseñanza de la geometría consiste en hacer que un tipo de experiencia particular se organice de una manera especial de modo que se convierta en una rama de la actividad intelectual del alumno. Por ejemplo, utilizar un compás para trazar circunferencias no es todavía una actividad intelectual, pero saber lo que se puede hacer con un compás en el plano, si lo es… La demostración axiomática no es rigurosa y convincente por ser axiomática, sino porque detrás del sistema lógico se encuentra la experiencia del buen sentido y empírica que garantiza que los axiomas afirman un hecho intelectualmente aceptable. De donde resulta que la enseñanza geométrica no se empleara de un modo uniforme de demostración sino que, según el nivel, se aceptara tal o cual prueba” Gattegno.( La pédagogie des mathematiques. 3, pp 153-1559).

De tal modo que la enseñanza de la geometría estaría cuestionada por la finalidad del proceso de aprendizaje y del currículo desarrollado por las instituciones educativas, que en definitiva se reduce al estudio memorístico y poco analítico de planas aritméticas que describen una etapa no plenamente desarrollada: “hipotético-deductivo”[1]

Según lo expresa Beth en Reflexiones sobre la organización y el método de enseñanza matemática citado por Alberto Campos (1987), el papel de la formación matemática en la enseñanza geométrica en la escuela consiste exclusivamente en: “familiarizar a los alumnos con el método deductivo”, pues creer que los niños no se encuentran en el nivel adecuado para el desarrollo de un proceso más avanzado que el empírico es catastrófico para el desarrollo del aprendizaje matemático; ya que bajo este pretexto no se tratara sino de “enseñar a los alumnos un cierto número de teoremas geométricos, que serían preferible presentarlos en forma dogmática”, pero este no soporta ningún examen crítico de los teoremas ni del procedimiento axiomático manejado.

Por tal razón, es conveniente hablar de generalidades a partir de propiedades algebraicas que describirían otro tipo de geometría que permita

“enriquecer al aprendiz con ciertos hábitos de cálculo, tratar de captar lo que puedan tener en común ciertas situaciones así como el entrelazamiento de las componentes de cada una de ellas; ejercicio de abstracción de análisis y de síntesis posiblemente más enriquecedor cuanto que no debe consistir en recitar un texto sino en construir activamente una experiencia”. Brunschvicg (Boletin de Matematicas. Vol.XI (1977) pág. (205)

Cabe especificar que al desarrollo de dicha geometría se divide en lo que hasta ahora se conocen como geometría topológica, proyectiva, métrica, fractal, hiperbólica,.. etc., y nombrar que este trabajo va dirigido hacia la geometría métrica que describe invariantes con respecto a la medida, es importante ya que el estudio de esta se enfocara en la medida de los ángulos que posee el triángulo, para qué, por medio de estas lograr: conocer o deducir otras propiedades fundamentales de este.


[1] Método que  describe el desarrollo de un procedimiento científico a partir de la inducción, donde se forjan hipótesis para llegar a predicciones generales que rigen un todo; es decir, que a partir de hipótesis particulares se va a lo general. El término es utilizado en el libro Educación Geométrica de Campos, para especificar y en cierta medida justificar porque no se logra la interpretación de la geometría de acuerdo con la evolución psicológica y a las etapas establecidas por Piaget para el desarrollo del pensamiento.

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